bentuk akar matematika

Bentuk Akar Matematika

Konsep bentuk akar matematika diperoleh dari bilangan eksponen (berpangkat) dengan pangkat pecahan. Sebagai contoh : \(3^{\frac {1}{2}}=\sqrt [2]{3}\). Kemudian, dari bentuk tersebut, dikembangkan menjadi berbagai macam bentuk lainnya. Nah, pada kesempatan kali ini batas ketik akan sharing mengenai materi bentuk akar matematika yang meliputi konsep, sifat-sifat dan cara merasionalkannya.


Aplikasi Bentuk Akar

aplikasi bentuk akar matematika

Masalah Statistik 1

Bentuk akar seringkali muncul dalam masalah statistik. Hal ini kita gunakan ketika kita akan menentukan rata-rata geometris dari suatu data yang memenuhi : \(G=\sqrt [n]{x_1 \times x_2 \times . . . \times x_n}\)

Sebagai contoh, tentukan rata-rata geometris dari 1,10, dan 100 !

Penyelesaian :

\(G=\sqrt [3]{1 \times 10 \times 100}\)

\(G=\sqrt [3]{1.000}\)

\(G=10\)

Masalah Statistik 2

Seperti yang diutarakan sebelumnya, bahwa bentuk akar merupakan perluasan dari bentuk eksponen dengan pangkat pecahan, sebagai contoh \(8^{\frac {1}{3}}=\sqrt [3]{8}\). Nah, salah satu aplikasi dari bentuk akar seperti ini adalah saat kita akan melakukan perhitungan Indeks Pembangunan Manusia di Indonesia. Hal ini dapat kita lakukan menggunakan rumus :

\(IPM=\sqrt [3]{I_Kesehatan+I_Pendidikan+I_Pengeluaran} \times 100\).

Baca lebih lanjut mengenai rumus dan contoh perhitungannya di Badan Pusat Statistik untuk menghitung IPM Indonesia 2019. Atau, Anda juga dapat membaca rumus lengkapnya di wikipedia.


Bentuk Akar Matematika

Ketika mengingat bentuk akar, Anda pasti langsung terhubung ke pernyataan “bilangan yang ada tanda akarnya bukan ?”. Nah, pernyataan tersebut tidak sepenuhnya tepat.

Bentuk akar matematika adalah berupa akar dari suatu bilangan-bilangan yang hasilnya bukan termasuk bilangan rasional.

Bilangan Rasional adalah sebuah bilangan dimana bilangan tersebut bisa dinyatakan dalam bentuk \(\frac {a}{b}\) (pecahan), dengan a dan b merupakan bilangan bulat ;  \(b \ne 0\)

Bilangan rasional ini seperti bilangan cacah, bilangan prima dll.

Sehingga, bilangan bertanda akar yang hasilnya bilangan irrasional alias bukan bilangan rasional maka itulah yang dinamakan bentuk akar.

Bilangan Irrasional adalah sebuah bilangan dimana bilangan tersebut tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan (\(\frac {a}{b}\)). Ciri lainnya dari bilangan ini ketika kita bagi, hasilnya tidak pernah berhenti.

Jadi, harus teliti yaa, tidak semua bilangan yang bertanda akar \((\sqrt {})\) itu adalah bentuk akar.

Masih bingung ? Mari kita ke contohnya langsung.

Perhatikan bilangan-bilangan berikut :

  1. \(\sqrt {4}\)
  2. \(\sqrt {\frac {1}{4}}\)
  3. \(\sqrt [3]{8}\)
  4. \(\sqrt {2}\)
  5. \(\sqrt {100}\)

Tentukanlah bilangan manakah yang bukan merupakan bentuk akar ! Berikan juga alasannya !

Penyelesaian :

Untuk menjawab soal tersebut, kita cek satu-persatu bilangannya/

1. \(\sqrt {4}=2\), karena diperoleh hasilnya 2 dan 2 merupakan bilangan rasional, maka bilangan ini bukanlah bentuk akar.

2. \(\sqrt {\frac {1}{4}}=\frac {1}{2}\), karena hasilnya \( \frac {1}{2}\) dan \( \frac {1}{2}\) merupakan bilangan rasional, maka bilangan ini bukanlah bentuk akar.

3. \(\sqrt [3]{8}=2\), karena diperoleh hasilnya 2 dan 2 merupakan bilangan rasional, maka bilangan ini bukanlah bentuk akar.

4. \(\sqrt {2}\) merupakan bentuk akar, karena hasil dari akar tersebut merupakan bilangan irrasional

5. \(\sqrt {100}=10\), karena diperoleh hasilnya 10 dan 10 merupakan bilangan rasional, maka bilangan ini bukanlah bentuk akar.

Jadi, bilangan yang bukan merupakan bentuk akar adalah \(\sqrt {4}, \sqrt {\frac {1}{4}}, \sqrt [3]{8},\) dan \(\sqrt {100}\)


Cara Menyederhanakan Bentuk Akar Matematika

Bilangan bentuk akar dapat kita sajikan ke dalam bentuk yang lebih sederhana. Misal, untuk bilangan a dan b yang merupakan bilangan bulat positif, maka kita dapat menggunakan formula:

\(\sqrt{a \times b}=\sqrt{a} \times \sqrt {b}\)

Dengan catatan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Contohnya sebagari berikut :

\(\sqrt {21}=\sqrt {9} \times \sqrt {3}=3\sqrt {3}\)


Operasi pada Bentuk Akar

1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan ataupun pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan dengan syarat apabila bentuk akarnya senama. Bentuk akar senama merupakan bentuk akar yang mempunyai basis dan eksponen sama. Untuk setiap p, q, dan r adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat-sifat berlaku.

Rumus operasi penjumlah bentuk akar
\(p\sqrt [n]{r}+q\sqrt [n]{r}=(p+q) \sqrt [n]{r}\)

 

Rumus operasi pengurangan bentuk akar
\(p\sqrt [n]{r}-q\sqrt [n]{r}=(p-q) \sqrt [n]{r}\)

 

Contoh soal :

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut dalam bentuk yang sederhana !

a.  \(3\sqrt {5}+4 \sqrt{5}= . . . .\)

Penyelesaian :
\(3\sqrt {5}+4 \sqrt{5}\)
\(=(3+4)\sqrt{5}\)
\(=7 \sqrt {5}\)

b.  \(\sqrt {5}+2\sqrt {6} = . . . . \)

(Tidak dapat disederhanakan karena akarnya tidak senama atau tidak sejenis)

c.  \(3\sqrt [3]{5}-4\sqrt[3]{5}= . . . .\)

Penyelesaian :
\(3\sqrt [3]{5}-4\sqrt[3]{5} \\
= (3-4)\sqrt[3]{5} \\
= – \sqrt[3]{5} \)

 

2. Operasi Perkalian Bentuk Akar

Untuk sembarang bilangan bulat positif a dan b maka berlaku sifat perkalian pada bentuk akar sebagai berikut.

\(\sqrt {a} \times \sqrt {b}=\sqrt {a \times b}\)

Contoh Soal :

a.\(\sqrt {5} \times \sqrt {3}= . . . .\)

Penyelesaian :
\(=\sqrt {5 \times 3} \\
=\sqrt {15} \)

 

b. \(3\sqrt {5} \times 4\sqrt {2}= . . . .\)

Penyelesaian :
\(=(3 \times 4)\sqrt {5 \times 2} \\
=12 \sqrt {10} \)

 

c. \(\sqrt 3(3\sqrt 2 – \sqrt 5)=. . . .\)

Penyelesaian :
\(=(\sqrt {3} \times 3 \sqrt {2})-(\sqrt {3} \times \sqrt {5})\\
=3(\sqrt {3} \times \sqrt {2})-\sqrt {15}\\
=3\sqrt {6}-\sqrt {15}\)

 

Tips dalam perkalian bentuk tertentu:

  • \({(\sqrt {a} + \sqrt {b} )}^2 =(a+b)+2\sqrt {ab}\)
  • \({(\sqrt {a} – \sqrt {b} )}^2 =(a+b)-2\sqrt {ab}\)
  • \((\sqrt {a} – \sqrt {b})(\sqrt {a}+\sqrt {b}) = a-b\)
  • \((a – \sqrt {b})(a+\sqrt {b}) = a^2-b\)

Sifat-Sifat Bentuk Akar

Berikut sifat-sifat dari bentuk akar :

  • \(\sqrt {{a}^2}=a \\ \)
  • \(\sqrt {a} \times \sqrt {b}= \sqrt {a \times b} \\ \)
  • \(\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}=\sqrt {\frac {a}{b}} \\ \)
  • \(a\sqrt [n]{c}+b\sqrt [n]{c}=(a+b) \sqrt [n]{c} \\ \)
  • \(a\sqrt [n]{c}-b\sqrt [n]{c}=(a-b) \sqrt [n]{c} \\ \)
  • \(a\sqrt {c} \times b\sqrt {d}=(a \times b)\sqrt {c \times d} \\ \)
  • \(\frac {c\sqrt {a}} {d\sqrt {b}}=\frac {c}{d}\sqrt {\frac {a}{b}} \\ \)

Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Matematika

Kita tahu bahwa bentuk-bentuk akar merupakan bilangan irasional. Jika bentuk akar menjadi penyebut pada suatu bilangan pecahan, maka dikatakan sebagai penyebut irasional. Penyebut irasional dapat diubah menjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan penyebut yang berbentuk akar pada suatu pecahan bergantung pada bentuk pecahan itu sendiri. Namun, cara merasionalkannya memiliki prinsip dasar yang sama, yaitu mengalikannya dengan bentuk akar sekawan.

a. Merasionalkan bentuk \(\frac {p}{\sqrt {q}}\)

Bentuk \(\frac {p}{\sqrt {q}}\) dirasionalkan dengan cara mengalikannya dengan \(\frac {\sqrt {q}}{\sqrt {q}}\), sehingga :

\(\frac {p}{\sqrt {q}}\)

\(=\frac {p}{\sqrt {q}} \times (\frac {\sqrt {q}}{\sqrt {q}})\)

\(=\frac {p}{q} \sqrt {q}\)

Contoh Soal :

Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya !

1) \(\frac {1}{\sqrt {3}}=. . . .\)

Penyelesaian :

\(=\frac {1}{\sqrt {3}} \times \frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}\)

\(=\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {9}}\)

\(=\frac {\sqrt {3}}{3}\)

2) \(\frac {1}{\sqrt {12}}= . . . .\)

Penyelesaian :

\(=\frac {1}{\sqrt {12}} \times \frac {\sqrt {12}}{\sqrt {12}}\)

\(=\frac {\sqrt {12}}{\sqrt {144}}\)

\(=\frac {\sqrt {12}}{12}\)

 

b. Merasionalkan bentuk \(\frac {r}{p+\sqrt {q}}, \frac {r}{p-\sqrt {q}}, \frac {r}{\sqrt {p}+\sqrt {q}}, dan \frac {r}{\sqrt {p}-\sqrt {q}}\)

Bentuk \(p+\sqrt {q}\) dan bentuk \(p-\sqrt {q}\) saling sekawan, bentuk \(\sqrt {p}+\sqrt {q}\) dan \(\sqrt {p}-\sqrt {q}\) juga saling sekawan. Jika perkalian bentuk akar dengan bentuk sekawan dilakukan maka dapat merasionalkan bilangan akar yang terdapat pada penyebut pecahan tersebut.

Contoh Soal :

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut :

1) \(\frac {3}{6+\sqrt {3}} = . . . .\)

Penyelesaian :

\(\frac {3}{6+\sqrt {3}} \\ \)
\(=\frac {3}{6+\sqrt {3}} \times \frac {6-\sqrt {3}}{6-\sqrt {3}} \\ \)
\(=\frac {3(6-\sqrt {3})}{(6+\sqrt {3}) \times (6-\sqrt {3}) } \\  \)
\(=\frac {18-3\sqrt {3}}{36-3} \\ \)
\(=\frac {18-3\sqrt {3}}{33} \\ \)
\(=\frac {6-\sqrt {3}}{11} \\ \)

2) \(\frac {2}{3-\sqrt {2}} = . . . .\)

Penyelesaian :

\(\frac {2}{3-\sqrt {2}} \\ \)
\(=\frac {2}{3-\sqrt {2}} \times \frac {3+\sqrt {2}}{3+\sqrt {2}} \\ \)
\(=\frac {2(3+\sqrt {2})}{(3-\sqrt {2}) \times (3+\sqrt {2})} \\ \)
\(=\frac {6+2\sqrt {2}}{9-2} \\ \)
\(=\frac {6+2\sqrt {2}}{7} \\ \)


Latihan Soal dan Pembahasan Bentuk Akar Matematika

Latihan Soal Bentuk Akar Matematika

Sekarang saatnya kita latihan. Silahkan kerjakan soal berikut :

Latihan Soal dan Pembahasan Bentuk Akar Matematika

Waaah, berapa soal yang dapat Anda kerjakan ? Terus coba lagi latihannya yaa.


Semoga artikel ini dapat membantu Anda semua yang sedang belajar bentuk akar matematika kelas X ini. Terus belajar dan berlatih. Tetap semangat, senyum dan konsentrasi 🙂

Tinggalkan Balasan